1. Análisis de ángulos:
Los ángulos son suplementarios: $\frac{7\pi}{8} = \pi - \frac{\pi}{8}$ y $\frac{5\pi}{8} = \pi - \frac{3\pi}{8}$.
Dado que $\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$, los términos se agrupan:
$$ S = 2 \left( \sin^4 \frac{\pi}{8} + \sin^4 \frac{3\pi}{8} \right) $$

2. Transformación:
Notamos que $\frac{3\pi}{8} + \frac{\pi}{8} = \frac{4\pi}{8} = \frac{\pi}{2}$, por lo tanto $\sin \frac{3\pi}{8} = \cos \frac{\pi}{8}$.
La expresión queda:
$$ S = 2 \left( \sin^4 \frac{\pi}{8} + \cos^4 \frac{\pi}{8} \right) $$
Usando la identidad auxiliar $\sin^4 x + \cos^4 x = 1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x)$:
$$ S = 2 \left( 1 - \frac{1}{2}\sin^2(2 \cdot \frac{\pi}{8}) \right) = 2 \left( 1 - \frac{1}{2}\sin^2 \frac{\pi}{4} \right) $$
$$ S = 2 \left( 1 - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \right) = 2 \left( \frac{3}{4} \right) = \frac{3}{2} $$

Resultado:
$$ \boxed{\frac{3}{2}} $$