1. Cambio de variable:
Para simplificar el sistema, definimos las siguientes variables auxiliares:
$$ u = x+y, \quad v = x-y $$
Sustituyendo en el sistema original obtenemos:
$$ \begin{cases} (1) \quad \dfrac{4}{u} + \dfrac{4}{v} = 3 \implies 4(u + v) = 3uv \\ (2) \quad u^2 + v^2 = 20 \end{cases} $$

2. Resolución del sistema auxiliar:
Sea $S = u + v$ (suma) y $P = uv$ (producto). De la ecuación (1):
$$ 4S = 3P \implies P = \frac{4S}{3} $$
Recordando la identidad algebraica $u^2 + v^2 = (u+v)^2 - 2uv$, sustituimos en (2):
$$ S^2 - 2P = 20 $$
Sustituimos $P = \frac{4S}{3}$ en la ecuación anterior:
$$ S^2 - 2\left(\frac{4S}{3}\right) = 20 \implies 3S^2 - 8S - 60 = 0 $$
Resolvemos la ecuación cuadrática mediante factorización:
$$ (3S + 10)(S - 6) = 0 $$

Caso A: $S = 6$
$$ P = \frac{4(6)}{3} = 8 $$
$u$ y $v$ son raíces de $t^2 - St + P = 0 \implies t^2 - 6t + 8 = 0 \implies (t-4)(t-2) = 0$.
Por lo tanto, $\{u, v\} = \{4, 2\}$.

• Si $x+y=4$ y $x-y=2$, sumando obtenemos $2x=6 \implies x=3$, y restando $2y=2 \implies y=1$. Solución: $(3, 1)$.
• Si $x+y=2$ y $x-y=4$, sumando obtenemos $2x=6 \implies x=3$, y restando $2y=-2 \implies y=-1$. Solución: $(3, -1)$.

Caso B: $S = -10/3$
$$ P = \frac{4(-10/3)}{3} = -\frac{40}{9} $$
$u$ y $v$ son raíces de $t^2 + \frac{10}{3}t - \frac{40}{9} = 0 \implies 9t^2 + 30t - 40 = 0$.
Aplicando la fórmula general:
$$ t = \frac{-30 \pm \sqrt{30^2 - 4(9)(-40)}}{2(9)} = \frac{-30 \pm \sqrt{900 + 1440}}{18} = \frac{-5 \pm \sqrt{65}}{3} $$
Esto genera valores para $x$ e $y$ tales que $x = \frac{u+v}{2} = \frac{S}{2} = -\frac{5}{3}$ y $y = \frac{u-v}{2} = \pm \frac{\sqrt{65}}{3}$.

Resultado Final:
$$ \boxed{(x, y) \in \left\{ (3, 1), (3, -1), \left(-\frac{5}{3}, \frac{\sqrt{65}}{3}\right), \left(-\frac{5}{3}, -\frac{\sqrt{65}}{3}\right) \right\}} $$