Para resolver esta identidad, utilizaremos una transformación conveniente para cada término de la suma. Analicemos el término general de la forma $\frac{\sin \theta}{\cos 3\theta}$.

Multiplicamos y dividimos por $2 \cos \theta$:
$$ \frac{\sin \theta}{\cos 3\theta} \cdot \frac{2 \cos \theta}{2 \cos \theta} = \frac{2 \sin \theta \cos \theta}{2 \cos \theta \cos 3\theta} = \frac{\sin 2\theta}{2 \cos \theta \cos 3\theta} $$

Usamos la identidad del ángulo compuesto para el numerador: $\sin 2\theta = \sin(3\theta - \theta)$:
$$ \frac{\sin(3\theta - \theta)}{2 \cos \theta \cos 3\theta} = \frac{\sin 3\theta \cos \theta - \cos 3\theta \sin \theta}{2 \cos \theta \cos 3\theta} $$

Distribuyendo el denominador:
$$ \frac{1}{2} \left( \frac{\sin 3\theta \cos \theta}{\cos \theta \cos 3\theta} - \frac{\cos 3\theta \sin \theta}{\cos \theta \cos 3\theta} \right) = \frac{1}{2} (\tan 3\theta - \tan \theta) $$

Ahora aplicamos esta propiedad a cada término de la expresión original:

• Para $\theta = x$: $\frac{\sin x}{\cos 3x} = \frac{1}{2}(\tan 3x - \tan x)$
• Para $\theta = 3x$: $\frac{\sin 3x}{\cos 9x} = \frac{1}{2}(\tan 9x - \tan 3x)$
• Para $\theta = 9x$: $\frac{\sin 9x}{\cos 27x} = \frac{1}{2}(\tan 27x - \tan 9x)$

Sumamos los tres términos:
$$ \begin{aligned} S &= \frac{1}{2} [(\tan 3x - \tan x) + (\tan 9x - \tan 3x) + (\tan 27x - \tan 9x)] \\ S &= \frac{1}{2} [-\tan x + (\tan 3x - \tan 3x) + (\tan 9x - \tan 9x) + \tan 27x] \end{aligned} $$

Observamos que se produce una suma telescópica donde los términos intermedios se cancelan. Simplificando obtenemos el resultado final:
$$ \boxed{\frac{1}{2} (\tan 27x - \tan x)} $$