1. Análisis de la ecuación:
$2 \tan^2 x - 2 = \tan x \implies 2(\tan^2 x - 1) = \tan x$.
Reorganizando: $\frac{\tan x}{\tan^2 x - 1} = 2$.

2. Cálculo de $\tan 2x$:
La fórmula es $\tan 2x = \frac{2 \tan x}{1 - \tan^2 x}$.
Notamos que $\frac{\tan x}{1 - \tan^2 x} = - \frac{\tan x}{\tan^2 x - 1} = -2$.
Por lo tanto: $\tan 2x = 2(-2) = -4$.

3. Cálculo de $\tan 4x$:
$$\tan 4x = \frac{2 \tan 2x}{1 - \tan^2 2x}$$
$$\tan 4x = \frac{2(-4)}{1 - (-4)^2} = \frac{-8}{1 - 16} = \frac{-8}{-15} = \frac{8}{15}$$