1. Desarrollo:
Elevamos al cuadrado ambas ecuaciones:
1) $\sin^2 A + \sin^2 B + 2 \sin A \sin B = a^2$
2) $\cos^2 A + \cos^2 B + 2 \cos A \cos B = b^2$

Sumamos las ecuaciones:
$(\sin^2 A + \cos^2 A) + (\sin^2 B + \cos^2 B) + 2(\cos A \cos B + \sin A \sin B) = a^2 + b^2$
$1 + 1 + 2 \cos(A-B) = a^2 + b^2 \Rightarrow 2 \cos(A-B) = a^2 + b^2 - 2$

Para hallar $\cos(A+B)$, dividimos las ecuaciones originales:
$\frac{2 \sin(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})}{2 \cos(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})} = \frac{a}{b} \Rightarrow \tan(\frac{A+B}{2}) = \frac{a}{b}$

Usamos la identidad del ángulo doble para el coseno:
$\cos(A+B) = \frac{1 - \tan^2(\frac{A+B}{2})}{1 + \tan^2(\frac{A+B}{2})} = \frac{1 - (a/b)^2}{1 + (a/b)^2} = \frac{b^2 - a^2}{b^2 + a^2}$

2. Resultado final:
$$ \boxed{\cos(A+B) = \frac{b^2 - a^2}{b^2 + a^2}} $$