Trabajamos con el lado izquierdo expresando en senos y cosenos:
$$ \begin{aligned} \cot x - \cot 2x &= \frac{\cos x}{\sin x} - \frac{\cos 2x}{\sin 2x} \\ &= \frac{\cos x \sin 2x - \sin x \cos 2x}{\sin x \sin 2x} \end{aligned} $$
El numerador es la expansión de $\sin(2x - x) = \sin x$:
$$ \frac{\sin x}{\sin x \sin 2x} = \frac{1}{\sin 2x} = \csc 2x $$
Queda demostrado.
$$ \boxed{\csc 2x} $$