Para resolver este problema, seguiremos un orden lógico: establecer restricciones, simplificar cada término usando identidades conocidas y finalmente resolver la ecuación algebraica resultante.

1. Restricciones del dominio:
Para que la ecuación esté definida, debemos asegurar que las funciones no se indeterminen:
$$ \begin{array}{lll} \text{Por } \sec x: & \cos x \neq 0 & \Rightarrow x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \\ \text{Por } \tan\left(\frac{\pi+x}{2}\right): & \cos\left(\frac{\pi+x}{2}\right) \neq 0 & \Rightarrow \frac{\pi+x}{2} \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \Rightarrow x \neq 2k\pi \end{array} $$

2. Identidades trigonométricas a utilizar:
Utilizaremos las siguientes equivalencias para simplificar la expresión:
$$ \begin{array}{ll} \text{Reducción al primer cuadrante:} & \sin(\pi - x) = \sin x \\ \text{Ángulos complementarios/suplementarios:} & \tan\left(\frac{\pi}{2} + \frac{x}{2}\right) = -\cot\left(\frac{x}{2}\right) \\ \text{Identidad del ángulo medio:} & \cot\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1 + \cos x}{\sin x} \\ \text{Definición de secante:} & \sec x = \frac{1}{\cos x} \end{array} $$

3. Desarrollo y simplificación:
Sustituimos las identidades en el miembro derecho (MD) de la ecuación:
$$ \begin{aligned} \text{MD} &= \sin x - \cos x \left[ -\cot\left(\frac{x}{2}\right) \right] \\ &= \sin x + \cos x \left( \frac{1 + \cos x}{\sin x} \right) \\ &= \frac{\sin^2 x + \cos x + \cos^2 x}{\sin x} \\ &= \frac{(\sin^2 x + \cos^2 x) + \cos x}{\sin x} \\ &= \frac{1 + \cos x}{\sin x} \end{aligned} $$

Ahora igualamos con el miembro izquierdo (MI):
$$ \begin{aligned} \sec x + 1 &= \frac{1 + \cos x}{\sin x} \\ \frac{1}{\cos x} + 1 &= \frac{1 + \cos x}{\sin x} \\ \frac{1 + \cos x}{\cos x} &= \frac{1 + \cos x}{\sin x} \end{aligned} $$

4. Resolución de la ecuación:
Trasladamos todos los términos a un solo lado para factorizar:
$$ \begin{aligned} \frac{1 + \cos x}{\cos x} - \frac{1 + \cos x}{\sin x} &= 0 \\ (1 + \cos x) \left( \frac{1}{\cos x} - \frac{1}{\sin x} \right) &= 0 \\ (1 + \cos x) \left( \frac{\sin x - \cos x}{\cos x \cdot \sin x} \right) &= 0 \end{aligned} $$

Analizamos los dos factores del numerador:

Caso A:
$$ 1 + \cos x = 0 \Rightarrow \cos x = -1 \Rightarrow \boxed{x = \pi + 2k\pi} $$

Caso B:
$$ \sin x - \cos x = 0 \Rightarrow \sin x = \cos x \Rightarrow \tan x = 1 \Rightarrow \boxed{x = \frac{\pi}{4} + k\pi} $$

5. Verificación de restricciones:

• Para $x = \pi$: $\cos(\pi) = -1$ (cumple $\neq 0$) y $x \neq 2k\pi$ (cumple).
• Para $x = \pi/4$: $\cos(\pi/4) \neq 0$ y $x \neq 2k\pi$ (cumple).

Resultado Final:
$$ \boxed{x = \pi + 2k\pi \quad \text{o} \quad x = \frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}} $$