1. Datos:
$\sin A = p \sin B$ \dots (1)
$\cos A = q \cos B$ \dots (2)

2. Eliminación del ángulo $A$:
Elevamos (1) y (2) al cuadrado y sumamos:
$$ \sin^2 A + \cos^2 A = p^2 \sin^2 B + q^2 \cos^2 B $$
$$ 1 = p^2 \sin^2 B + q^2 \cos^2 B $$
Sustituimos $\sin^2 B = 1 - \cos^2 B$:
$$ 1 = p^2(1 - \cos^2 B) + q^2 \cos^2 B \implies 1 - p^2 = (q^2 - p^2) \cos^2 B $$
$$ \cos^2 B = \frac{1 - p^2}{q^2 - p^2} \implies \sin^2 B = 1 - \frac{1 - p^2}{q^2 - p^2} = \frac{q^2 - 1}{q^2 - p^2} $$

3. Cálculo de $\tan A \cdot \tan B$:
Por definición:
$$ \tan A \cdot \tan B = \frac{\sin A}{\cos A} \cdot \frac{\sin B}{\cos B} = \frac{p \sin B}{q \cos B} \cdot \frac{\sin B}{\cos B} = \frac{p}{q} \cdot \frac{\sin^2 B}{\cos^2 B} $$
Sustituyendo los valores de $\sin^2 B$ y $\cos^2 B$:
$$ \tan A \cdot \tan B = \frac{p}{q} \cdot \left( \frac{\frac{q^2 - 1}{q^2 - p^2}}{\frac{1 - p^2}{q^2 - p^2}} \right) $$
Simplificando los denominadores $q^2 - p^2$:
$$ \tan A \cdot \tan B = \frac{p}{q} \left( \frac{q^2 - 1}{1 - p^2} \right) $$

4. Conclusión:
Se llega a la expresión solicitada.
$$ \boxed{\tan A \cdot \tan B = \frac{p}{q} \left( \frac{q^2 - 1}{1 - p^2} \right)} $$