1. Datos:
$\cos \theta + \sin \theta = \sqrt{2} \cos \theta \implies \sin \theta = \sqrt{2} \cos \theta - \cos \theta = (\sqrt{2} - 1) \cos \theta$.

2. Desarrollo:
De la igualdad obtenida:
$$ \cos \theta = \frac{\sin \theta}{\sqrt{2} - 1} $$
Racionalizamos el denominador multiplicando por $(\sqrt{2} + 1)$:
$$ \cos \theta = \frac{\sin \theta (\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{\sqrt{2} \sin \theta + \sin \theta}{2 - 1} $$
$$ \cos \theta = \sqrt{2} \sin \theta + \sin \theta $$

Trasponiendo términos para obtener la expresión deseada:
$$ \cos \theta - \sin \theta = \sqrt{2} \sin \theta $$

3. Resultado:
$$ \boxed{\cos \theta - \sin \theta = \sqrt{2} \sin \theta} $$