1. Datos y Definiciones:
Sea $\alpha = \arcsin x$. Esto implica $\sin \alpha = x$ con $\alpha \in [-\pi/2, \pi/2]$.

2. Propiedades a usar:
Usamos la identidad $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, de donde:
$$ \cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} = \sqrt{1 - x^2} $$
Nota: $\cos \alpha \ge 0$ porque $\alpha \in [-\pi/2, \pi/2]$.

3. Desarrollo por casos:

• Caso 1: $0 \le x \le 1$. Si $x$ es positivo, $\alpha = \arcsin x$ está en el primer cuadrante $[0, \pi/2]$. En este intervalo, la función $\arccos$ devuelve exactamente el ángulo $\alpha$.
  $$ \cos \alpha = \sqrt{1-x^2} \implies \alpha = \arccos \sqrt{1-x^2} $$
• Caso 2: $-1 \le x \le 0$. Si $x$ es negativo, $\alpha$ está en $[-\pi/2, 0]$. Sin embargo, el rango de $\arccos(u)$ es siempre $[0, \pi]$. Como $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$, y $-\alpha \in [0, \pi/2]$, tenemos:
  $$ \arccos(\cos \alpha) = \arccos \sqrt{1-x^2} = -\alpha \implies \alpha = -\arccos \sqrt{1-x^2} $$

4. Resultado final:
Uniendo ambos casos según el signo de $x$:
$$ \boxed{\arcsin x = \text{sgn}(x) \arccos \sqrt{1-x^2}} $$