1. Datos y sustitución:
Sea $\alpha = \arctan x$, de modo que $\tan \alpha = x$.
Se requiere hallar $\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

2. Fórmulas a utilizar:
Utilizaremos la identidad de la tangente del ángulo mitad:
$$ \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha} \quad \text{o también} \quad \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{\sqrt{1 + \tan^2 \alpha} - 1}{\tan \alpha} $$
Para expresarlo directamente en términos de $x$, usamos:
$$ \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{-1 + \sqrt{1 + x^2}}{x} $$

3. Desarrollo paso a paso:
Partiendo de $\tan \alpha = x$, sabemos que $\sec \alpha = \sqrt{1 + x^2}$.
Usando la identidad $\tan(\alpha/2) = \csc \alpha - \cot \alpha$ o derivándola de las básicas:
$$ \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{\sec \alpha - 1}{\tan \alpha} = \frac{\sqrt{1 + x^2} - 1}{x} $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{\frac{\sqrt{1 + x^2} - 1}{x}} $$