1. Datos y sustitución:
Sea $\alpha = \arctan x$. Por definición de la función arcotangente, esto implica que:
$$ \tan \alpha = x $$
El problema nos pide hallar $\cos(2\alpha)$.

2. Fórmulas a utilizar:
Utilizaremos la identidad del coseno del ángulo doble en términos de la tangente:
$$ \cos(2\alpha) = \frac{1 - \tan^2 \alpha}{1 + \tan^2 \alpha} $$

3. Desarrollo paso a paso:
Sustituimos el valor de $\tan \alpha = x$ en la fórmula:
$$ \cos(2 \arctan x) = \frac{1 - (x)^2}{1 + (x)^2} $$

4. Conclusión:
La expresión simplificada es una función racional de $x$.
$$ \boxed{\frac{1 - x^2}{1 + x^2}} $$