1. Datos del problema:
Identidad con radicales que involucra cotangente y coseno.

2. Propiedades usadas:

• Factorización: $\cot \alpha \pm \cos \alpha = \cot \alpha (1 \pm \sin \alpha)$
• Identidad: $1 \pm \sin \alpha = \left( \cos \frac{\alpha}{2} \pm \sin \frac{\alpha}{2} \right)^2$

3. Desarrollo paso a paso:
Expresamos los términos dentro de las raíces:
$$ \cot \alpha + \cos \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} + \cos \alpha = \frac{\cos \alpha (1 + \sin \alpha)}{\sin \alpha} = \cot \alpha (1 + \sin \alpha) $$
De igual forma:
$$ \cot \alpha - \cos \alpha = \cot \alpha (1 - \sin \alpha) $$

Sustituimos en el L.I.:
$$ \begin{aligned} L.I. &= \sqrt{\cot \alpha (1 + \sin \alpha)} + \sqrt{\cot \alpha (1 - \sin \alpha)} \\ &= \sqrt{\cot \alpha} \left( \sqrt{1 + \sin \alpha} + \sqrt{1 - \sin \alpha} \right) \end{aligned} $$
Usamos la identidad para $1 \pm \sin \alpha$:
$$ \sqrt{1 \pm \sin \alpha} = \left| \cos \frac{\alpha}{2} \pm \sin \frac{\alpha}{2} \right| $$
En el intervalo $0 < \alpha \leq \frac{\pi}{2}$, los términos dentro del valor absoluto son positivos:
$$ \begin{aligned} L.I. &= \sqrt{\cot \alpha} \left( \left( \cos \frac{\alpha}{2} + \sin \frac{\alpha}{2} \right) + \left( \cos \frac{\alpha}{2} - \sin \frac{\alpha}{2} \right) \right) \\ &= \sqrt{\cot \alpha} \left( 2 \cos \frac{\alpha}{2} \right) \end{aligned} $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{2 \cos \frac{\alpha}{2} \sqrt{\cot \alpha}} $$