1. Datos del problema:
Simplificar la expresión con cosenos de ángulos múltiples para obtener una expresión en términos de potencias de $\sin \alpha$ y $\cos \alpha$.

2. Fórmulas o propiedades usadas:

• Identidades de suma a producto: $\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}$
• Identidad fundamental: $\sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha$
• Coseno del ángulo triple: $\cos 3\alpha = 4\cos^3 \alpha - 3\cos \alpha$

3. Desarrollo paso a paso:
Agrupamos los términos con factor $\frac{1}{2}$:
$$ \begin{aligned} E &= \cos \alpha - \frac{1}{2} (\cos 3\alpha + \cos 5\alpha) \\ E &= \cos \alpha - \frac{1}{2} \left[ 2 \cos \frac{3\alpha + 5\alpha}{2} \cos \frac{3\alpha - 5\alpha}{2} \right] \\ E &= \cos \alpha - \cos 4\alpha \cos(-\alpha) \end{aligned} $$
Como $\cos(-\alpha) = \cos \alpha$, factorizamos:
$$ E = \cos \alpha (1 - \cos 4\alpha) $$
Usamos la identidad de degradación $1 - \cos 2x = 2 \sin^2 x$, donde $2x = 4\alpha$:
$$ E = \cos \alpha (2 \sin^2 2\alpha) $$
Expandimos $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$:
$$ \begin{aligned} E &= 2 \cos \alpha (2 \sin \alpha \cos \alpha)^2 \\ E &= 2 \cos \alpha (4 \sin^2 \alpha \cos^2 \alpha) \\ E &= 8 \sin^2 \alpha \cos^3 \alpha \end{aligned} $$

4. Conclusión:
La identidad queda demostrada.
$$ \boxed{\cos \alpha - \frac{1}{2} \cos 3\alpha - \frac{1}{2} \cos 5\alpha = 8 \sin^2 \alpha \cos^3 \alpha} $$