Base inductiva ($n=0$):
$$ 7^2 + 8^1 = 49 + 8 = 57 \quad (\text{Correcto}) $$

Paso inductivo:
Supongamos $7^{k+2} + 8^{2k+1} = 57m$.
Para $n=k+1$:
$$ \begin{aligned} 7^{k+3} + 8^{2(k+1)+1} &= 7 \cdot 7^{k+2} + 8^2 \cdot 8^{2k+1} \\ &= 7 \cdot 7^{k+2} + 64 \cdot 8^{2k+1} \end{aligned} $$
Separamos el $64$ en $7 + 57$:
$$ \begin{aligned} &= 7 \cdot 7^{k+2} + (7 + 57) \cdot 8^{2k+1} \\ &= 7(7^{k+2} + 8^{2k+1}) + 57 \cdot 8^{2k+1} \\ &= 7(57m) + 57 \cdot 8^{2k+1} \\ &= 57(7m + 8^{2k+1}) \end{aligned} $$
Es divisible por $57$.

$$ \boxed{(7^{n+2} + 8^{2n+1}) \text{ es divisible por } 57} $$