1. Datos del problema:
Simplificar fracciones que contienen potencias cúbicas de tangente y cotangente.

2. Desarrollo paso a paso:
Analizamos el primer término:
$$ \frac{\tan^3 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{\sin^3 \alpha / \cos^3 \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{\sin \alpha}{\cos^3 \alpha} = \tan \alpha \cdot \sec^2 \alpha $$
Usando $\sec^2 \alpha = 1 + \tan^2 \alpha$:
$$ \tan \alpha(1 + \tan^2 \alpha) = \tan \alpha + \tan^3 \alpha $$

Analizamos el tercer término:
$$ \frac{\cot^3 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{\cos^3 \alpha / \sin^3 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \frac{\cos \alpha}{\sin^3 \alpha} = \cot \alpha \cdot \csc^2 \alpha $$
Usando $\csc^2 \alpha = 1 + \cot^2 \alpha$:
$$ \cot \alpha(1 + \cot^2 \alpha) = \cot \alpha + \cot^3 \alpha $$

Sumamos los resultados y restamos el segundo término:
$$ (\tan \alpha + \tan^3 \alpha) + (\cot \alpha + \cot^3 \alpha) - \frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha} $$
Sabemos que $\tan \alpha + \cot \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha \cos \alpha} = \frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha}$.

Sustituyendo:
$$ \left( \frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha} \right) + \tan^3 \alpha + \cot^3 \alpha - \frac{1}{\sin \alpha \cos \alpha} = \tan^3 \alpha + \cot^3 \alpha $$

3. Conclusión:
La identidad es válida tras simplificar los términos de primer grado.
$$ \boxed{\tan^3 \alpha + \cot^3 \alpha = \tan^3 \alpha + \cot^3 \alpha} $$