Identidades a usar:
$$ (\cos a-\sin a)^2=\cos^2 a+\sin^2 a-2\sin a\cos a=1-\sin(2a),\qquad \sin u-\sin v=2\cos\!\Big(\tfrac{u+v}{2}\Big)\sin\!\Big(\tfrac{u-v}{2}\Big). $$

Paso 1. Simplificar el lado derecho
con $a=\tfrac{3x}{2}$:
$$ (\cos\tfrac{3x}{2}-\sin\tfrac{3x}{2})^2 =1-\sin(2\cdot\tfrac{3x}{2})=1-\sin(3x). $$

La ecuación queda
$$ 1-\sin(5x)=1-\sin(3x)\ \Longrightarrow\ \sin(3x)-\sin(5x)=0. $$

Paso 2. Suma a producto
$$ \sin(3x)-\sin(5x) =2\cos\!\Big(\tfrac{3x+5x}{2}\Big)\sin\!\Big(\tfrac{3x-5x}{2}\Big) =2\cos(4x)\sin(-x)=-2\cos(4x)\sin x=0. $$

Paso 3. Resolver factores
$$ \sin x=0 \quad \text{o} \quad \cos(4x)=0. $$

• Si $\sin x=0 \Rightarrow x=n\pi,\ n\in\mathbb{Z}$.

• Si $\cos(4x)=0 \Rightarrow 4x=\frac{\pi}{2}+k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi}{8}(2k+1),\ k\in\mathbb{Z}$.

Respuesta:
$$ \boxed{\,x=n\pi\quad \text{o}\quad x=\frac{\pi}{8}(2n+1),\ n\in\mathbb{Z}\, }. $$