1. Datos del problema:
Verificar el producto $\cos(36^\circ) \cos(108^\circ) = -1/4$.

2. Fórmulas usadas:

• $\cos(3\pi/5) = \cos(\pi - 2\pi/5) = -\cos(2\pi/5)$.


• Identidad: $2 \cos A \cos B = \cos(A+B) + \cos(A-B)$.

3. Desarrollo paso a paso:
Sea $L = \cos \frac{\pi}{5} \cos \frac{3\pi}{5}$.
Multiplicamos y dividimos por $2 \sin \frac{\pi}{5}$:
$$ L = \frac{2 \sin \frac{\pi}{5} \cos \frac{\pi}{5} \cos \frac{3\pi}{5}}{2 \sin \frac{\pi}{5}} = \frac{\sin \frac{2\pi}{5} \cos \frac{3\pi}{5}}{2 \sin \frac{\pi}{5}} $$
Usamos la identidad de producto a suma $\sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)]$:
$$ L = \frac{\frac{1}{2} [\sin \pi + \sin(-\frac{\pi}{5}) ]}{2 \sin \frac{\pi}{5}} $$
Como $\sin \pi = 0$ y $\sin(-\theta) = -\sin \theta$:
$$ L = \frac{-\frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{5}}{2 \sin \frac{\pi}{5}} = -\frac{1}{4} $$

4. Conclusión:
La igualdad es correcta.
$$ \boxed{-\frac{1}{4} = -\frac{1}{4}} $$