1. Análisis de restricciones:
Para que la expresión esté definida, el denominador debe ser distinto de cero:
$$ \sin x \neq 0 \implies x \neq n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} $$

2. Propiedad del producto nulo:
Para que el producto de dos factores sea cero, al menos uno de ellos debe serlo:
$$ 1 + \cos x = 0 \quad \text{o} \quad \frac{1}{\sin x} - 1 = 0 $$

3. Resolución de los casos:

• Caso 1: \( 1 + \cos x = 0 \)
  $$ \cos x = -1 $$
  La solución general es \( x = (2k + 1)\pi \). Sin embargo, si \( x = (2k + 1)\pi \), entonces \( \sin x = 0 \), lo cual contradice nuestra restricción inicial. Por lo tanto, este caso no aporta soluciones válidas.
• Caso 2: \( \frac{1}{\sin x} - 1 = 0 \)
  $$ \frac{1}{\sin x} = 1 \implies \sin x = 1 $$
  La solución para \(\sin x = 1\) en el primer giro es \( x = \frac{\pi}{2} \).

4. Conclusión:
La solución general considerando la periodicidad es:
$$ \boxed{x = 2k\pi + \frac{\pi}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}} $$