Iv
MATU • Trigonometria
MATU_TRI_154
Imagen adjunta
Enunciado
Simplificar la siguiente expresión:
$$ \frac{\sin \alpha + \sin 3\alpha + \sin 5\alpha + \dots + \sin (2n-1) \alpha}{\cos \alpha + \cos 3\alpha + \cos 5\alpha + \dots + \cos (2n-1) \alpha} $$
$$ \frac{\sin \alpha + \sin 3\alpha + \sin 5\alpha + \dots + \sin (2n-1) \alpha}{\cos \alpha + \cos 3\alpha + \cos 5\alpha + \dots + \cos (2n-1) \alpha} $$
Solución Paso a Paso
1. Datos del problema:
Se presenta una razón entre una suma de senos y una suma de cosenos de ángulos en progresión aritmética, donde el primer término es $\alpha$, la razón es $2\alpha$ y hay $n$ términos.
2. Propiedades usadas:
Para sumas de funciones trigonométricas en progresión aritmética:
$$ \sum_{k=1}^{n} \sin(a + (k-1)d) = \frac{\sin\left(\frac{nd}{2}\right)}{\sin\left(\frac{d}{2}\right)} \sin\left(\frac{2a + (n-1)d}{2}\right) $$
$$ \sum_{k=1}^{n} \cos(a + (k-1)d) = \frac{\sin\left(\frac{nd}{2}\right)}{\sin\left(\frac{d}{2}\right)} \cos\left(\frac{2a + (n-1)d}{2}\right) $$
En este caso: $a = \alpha$, $d = 2\alpha$.
3. Desarrollo paso a paso:
Calculamos el factor común $S = \frac{\sin(n \cdot 2\alpha / 2)}{\sin(2\alpha / 2)} = \frac{\sin(n\alpha)}{\sin\alpha}$.
El argumento del seno y coseno final es: $\frac{2\alpha + (n-1)2\alpha}{2} = \frac{2\alpha + 2n\alpha - 2\alpha}{2} = n\alpha$.
Sustituyendo en la expresión original $E$:
$$ \begin{aligned} E &= \frac{\frac{\sin(n\alpha)}{\sin\alpha} \cdot \sin(n\alpha)}{\frac{\sin(n\alpha)}{\sin\alpha} \cdot \cos(n\alpha)} \\ E &= \frac{\sin(n\alpha)}{\cos(n\alpha)} \\ E &= \tan(n\alpha) \end{aligned} $$
4. Resultado final:
$$ \boxed{\tan(n\alpha)} $$
Se presenta una razón entre una suma de senos y una suma de cosenos de ángulos en progresión aritmética, donde el primer término es $\alpha$, la razón es $2\alpha$ y hay $n$ términos.
2. Propiedades usadas:
Para sumas de funciones trigonométricas en progresión aritmética:
$$ \sum_{k=1}^{n} \sin(a + (k-1)d) = \frac{\sin\left(\frac{nd}{2}\right)}{\sin\left(\frac{d}{2}\right)} \sin\left(\frac{2a + (n-1)d}{2}\right) $$
$$ \sum_{k=1}^{n} \cos(a + (k-1)d) = \frac{\sin\left(\frac{nd}{2}\right)}{\sin\left(\frac{d}{2}\right)} \cos\left(\frac{2a + (n-1)d}{2}\right) $$
En este caso: $a = \alpha$, $d = 2\alpha$.
3. Desarrollo paso a paso:
Calculamos el factor común $S = \frac{\sin(n \cdot 2\alpha / 2)}{\sin(2\alpha / 2)} = \frac{\sin(n\alpha)}{\sin\alpha}$.
El argumento del seno y coseno final es: $\frac{2\alpha + (n-1)2\alpha}{2} = \frac{2\alpha + 2n\alpha - 2\alpha}{2} = n\alpha$.
Sustituyendo en la expresión original $E$:
$$ \begin{aligned} E &= \frac{\frac{\sin(n\alpha)}{\sin\alpha} \cdot \sin(n\alpha)}{\frac{\sin(n\alpha)}{\sin\alpha} \cdot \cos(n\alpha)} \\ E &= \frac{\sin(n\alpha)}{\cos(n\alpha)} \\ E &= \tan(n\alpha) \end{aligned} $$
4. Resultado final:
$$ \boxed{\tan(n\alpha)} $$