1. Datos y propiedades:
Utilizaremos la identidad auxiliar: $\tan x + \cot x = \frac{1}{\sin x \cos x} = \frac{2}{\sin 2x}$.

2. Desarrollo:
Sustituimos la identidad en la ecuación:
$$ \frac{2}{\sin 2x} - \cos 4x = 3 $$

Usamos la identidad de ángulo doble para $\cos 4x = 1 - 2\sin^2 2x$:
$$ \frac{2}{\sin 2x} - (1 - 2\sin^2 2x) = 3 $$
$$ \frac{2}{\sin 2x} - 1 + 2\sin^2 2x = 3 $$
$$ \frac{2}{\sin 2x} + 2\sin^2 2x - 4 = 0 $$

Multiplicamos por $\sin 2x$ (asumiendo $\sin 2x \neq 0$):
$$ 2 + 2\sin^3 2x - 4\sin 2x = 0 $$
Dividimos entre $2$:
$$ \sin^3 2x - 2\sin 2x + 1 = 0 $$

Sea $u = \sin 2x$. La ecuación es $u^3 - 2u + 1 = 0$. Por evaluación, $u=1$ es raíz.
Factorizando: $(u-1)(u^2 + u - 1) = 0$.

• Si $u = 1$: $\sin 2x = 1 \implies 2x = 2k\pi + \frac{\pi}{2} \implies x = k\pi + \frac{\pi}{4}$.
• Si $u^2 + u - 1 = 0$: $u = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$. Como $|u| \leq 1$, solo tomamos $u = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$.

3. Resultado:
$$ \boxed{x = k\pi + \frac{\pi}{4}; \quad x = \frac{k\pi}{2} + \frac{(-1)^k}{2} \arcsin\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)} $$