1. Agrupación por pares:
Usamos la fórmula $\arctan x + \arctan y = \arctan \frac{x+y}{1-xy}$.

2. Desarrollo paso a paso:

• Par 1: $\arctan \frac{1}{3} + \arctan \frac{1}{5} = \arctan \frac{1/3+1/5}{1-1/15} = \arctan \frac{8/15}{14/15} = \arctan \frac{4}{7}$.


• Par 2: $\arctan \frac{1}{7} + \arctan \frac{1}{8} = \arctan \frac{1/7+1/8}{1-1/56} = \arctan \frac{15/56}{55/56} = \arctan \frac{3}{11}$.

3. Suma de los resultados:
$\arctan \frac{4}{7} + \arctan \frac{3}{11} = \arctan \frac{4/7+3/11}{1-12/77} = \arctan \frac{(44+21)/77}{(77-12)/77} = \arctan \frac{65}{65}$
$$\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$$

4. Resultado final:
$\frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}$. Queda demostrada la identidad.