Datos del problema: Existe un valor común $k$ tal que
$$ \frac{\sen x}{2}=\frac{\sen 2x}{3}=\frac{\sen 4x}{m}=k. $$
Luego:
$$ \sen x = 2k,\qquad \sen 2x = 3k,\qquad \sen 4x = mk. $$

Paso 1: Usar $\sen 2x = 2\sen x \cos x$:
$$ 3k = 2(2k)\cos x \;\Rightarrow\; 3k = 4k\cos x \;\Rightarrow\; \cos x=\frac{3}{4}. $$

Paso 2: Hallar $\cos 2x$:
$$ \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 = 2\left(\frac{3}{4}\right)^2 - 1 =2\cdot\frac{9}{16}-1=\frac{18}{16}-\frac{16}{16}=\frac{1}{8}. $$

Paso 3: Usar $\sen 4x = 2\sen 2x \cos 2x$:
$$ \sen 4x = 2(3k)\left(\frac{1}{8}\right)=\frac{3k}{4}. $$

Como $\sen 4x = mk$, se tiene:
$$ mk=\frac{3k}{4}\;\Rightarrow\; m=\frac{3}{4}. $$

Resultado final: $\boxed{m=\frac{3}{4}}$.