Iv
CAL2 • Integrales
CALC_BEE_417
Examen Final
Enunciado
Calcular el valor del siguiente límite que involucra una suma y una integral definida:
$$ \lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} \left( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{nx^2 + kx + n} \right) dx $$
$$ \lim_{n \to \infty} \int_{0}^{1} \left( \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{nx^2 + kx + n} \right) dx $$
Solución Paso a Paso
1. Identificación del problema:
El problema nos pide hallar el límite cuando $n$ tiende a infinito de una integral cuyo integrando es una suma finita. Dado que la suma depende de $n$, buscaremos transformarla en una suma de Riemann para convertirla en una integral.
2. Transformación de la suma:
Manipulamos el término general de la suma dividiendo numerador y denominador por $n$:
$$ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n(x^2 + \frac{k}{n}x + 1)} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{x^2 + \left(\frac{k}{n}\right)x + 1} $$
Reconocemos que para un $x$ fijo, esta es una suma de Riemann para la función $f(t) = \frac{1}{x^2 + tx + 1}$ en el intervalo $t \in [0, 1]$. Por lo tanto:
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{x^2 + \frac{k}{n}x + 1} = \int_{0}^{1} \frac{dt}{x^2 + tx + 1} $$
3. Intercambio de límite e integral:
Bajo condiciones de convergencia uniforme (que se cumplen aquí por ser el integrando continuo en un compacto), el límite entra en la integral:
$$ I = \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{1} \frac{dt}{x^2 + tx + 1} \right) dx $$
Por el teorema de Fubini, podemos intercambiar el orden de integración para facilitar el cálculo, aprovechando la simetría de la expresión en $x$ y $t$:
$$ I = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{1}{x^2 + xt + 1} \, dx \, dt $$
4. Cálculo de la integral:
Para resolver $\int \frac{dx}{x^2 + tx + 1}$, completamos el cuadrado en el denominador respecto a $x$:
$$ x^2 + tx + 1 = \left(x + \frac{t}{2}\right)^2 + \left(1 - \frac{t^2}{4}\right) = \left(x + \frac{t}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{4-t^2}}{2}\right)^2 $$
La integral interna es:
$$ \left[ \frac{2}{\sqrt{4-t^2}} \arctan\left( \frac{2x + t}{\sqrt{4-t^2}} \right) \right]_{0}^{1} = \frac{2}{\sqrt{4-t^2}} \left( \arctan\left( \frac{2+t}{\sqrt{4-t^2}} \right) - \arctan\left( \frac{t}{\sqrt{4-t^2}} \right) \right) $$
Usando la identidad $\arctan(a) - \arctan(b) = \arctan\left(\frac{a-b}{1+ab}\right)$:
$$ \frac{2+t-t}{\sqrt{4-t^2}} \cdot \frac{1}{1 + \frac{2t+t^2}{4-t^2}} = \frac{2}{\sqrt{4-t^2}} \cdot \frac{4-t^2}{4-t^2+2t+t^2} = \frac{2\sqrt{4-t^2}}{4+2t} = \frac{\sqrt{4-t^2}}{2+t} = \sqrt{\frac{2-t}{2+t}} $$
Entonces la integral se reduce a:
$$ I = \int_{0}^{1} \frac{2}{\sqrt{4-t^2}} \arctan\left( \sqrt{\frac{2-t}{2+t}} \right) dt $$
Haciendo el cambio $t = 2\cos(\theta)$, tras un desarrollo trigonométrico avanzado y evaluación de los límites propuestos en el enunciado original:
$$ \boxed{I = \frac{5\pi^2}{72}} $$
El problema nos pide hallar el límite cuando $n$ tiende a infinito de una integral cuyo integrando es una suma finita. Dado que la suma depende de $n$, buscaremos transformarla en una suma de Riemann para convertirla en una integral.
2. Transformación de la suma:
Manipulamos el término general de la suma dividiendo numerador y denominador por $n$:
$$ \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n(x^2 + \frac{k}{n}x + 1)} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{x^2 + \left(\frac{k}{n}\right)x + 1} $$
Reconocemos que para un $x$ fijo, esta es una suma de Riemann para la función $f(t) = \frac{1}{x^2 + tx + 1}$ en el intervalo $t \in [0, 1]$. Por lo tanto:
$$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{x^2 + \frac{k}{n}x + 1} = \int_{0}^{1} \frac{dt}{x^2 + tx + 1} $$
3. Intercambio de límite e integral:
Bajo condiciones de convergencia uniforme (que se cumplen aquí por ser el integrando continuo en un compacto), el límite entra en la integral:
$$ I = \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{1} \frac{dt}{x^2 + tx + 1} \right) dx $$
Por el teorema de Fubini, podemos intercambiar el orden de integración para facilitar el cálculo, aprovechando la simetría de la expresión en $x$ y $t$:
$$ I = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \frac{1}{x^2 + xt + 1} \, dx \, dt $$
4. Cálculo de la integral:
Para resolver $\int \frac{dx}{x^2 + tx + 1}$, completamos el cuadrado en el denominador respecto a $x$:
$$ x^2 + tx + 1 = \left(x + \frac{t}{2}\right)^2 + \left(1 - \frac{t^2}{4}\right) = \left(x + \frac{t}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{4-t^2}}{2}\right)^2 $$
La integral interna es:
$$ \left[ \frac{2}{\sqrt{4-t^2}} \arctan\left( \frac{2x + t}{\sqrt{4-t^2}} \right) \right]_{0}^{1} = \frac{2}{\sqrt{4-t^2}} \left( \arctan\left( \frac{2+t}{\sqrt{4-t^2}} \right) - \arctan\left( \frac{t}{\sqrt{4-t^2}} \right) \right) $$
Usando la identidad $\arctan(a) - \arctan(b) = \arctan\left(\frac{a-b}{1+ab}\right)$:
$$ \frac{2+t-t}{\sqrt{4-t^2}} \cdot \frac{1}{1 + \frac{2t+t^2}{4-t^2}} = \frac{2}{\sqrt{4-t^2}} \cdot \frac{4-t^2}{4-t^2+2t+t^2} = \frac{2\sqrt{4-t^2}}{4+2t} = \frac{\sqrt{4-t^2}}{2+t} = \sqrt{\frac{2-t}{2+t}} $$
Entonces la integral se reduce a:
$$ I = \int_{0}^{1} \frac{2}{\sqrt{4-t^2}} \arctan\left( \sqrt{\frac{2-t}{2+t}} \right) dt $$
Haciendo el cambio $t = 2\cos(\theta)$, tras un desarrollo trigonométrico avanzado y evaluación de los límites propuestos en el enunciado original:
$$ \boxed{I = \frac{5\pi^2}{72}} $$