Datos del problema:
Reducir una expresión que contiene una fracción continua finita.

Fórmulas/Propiedades:
1. $\sin 2x = 2\sin x \cos x$
2. $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$
3. $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$

Desarrollo paso a paso:
1. Resolvemos la fracción continua desde abajo hacia arriba. Denotemos la parte inferior como $A$:
$$A = 2\sin x - \frac{1}{2\sin x} = \frac{4\sin^2 x - 1}{2\sin x}$$
2. Subimos un nivel en la fracción ($B$):
$$B = 2\sin x - \frac{1}{A} = 2\sin x - \frac{2\sin x}{4\sin^2 x - 1} = \frac{8\sin^3 x - 2\sin x - 2\sin x}{4\sin^2 x - 1} = \frac{4\sin x (2\sin^2 x - 1)}{4\sin^2 x - 1}$$
3. Aplicamos la identidad $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$, por tanto $(2\sin^2 x - 1) = -\cos 2x$:
$$B = \frac{-4\sin x \cos 2x}{4\sin^2 x - 1}$$
4. Ahora calculamos el término completo de la derecha ($T$):
$$T = \frac{\sin x}{B} = \frac{\sin x (4\sin^2 x - 1)}{-4\sin x \cos 2x} = \frac{1 - 4\sin^2 x}{4\cos 2x}$$
5. Sustituimos en $H$:
$$H = \frac{1}{4} - \frac{1 - 4\sin^2 x}{4\cos 2x} = \frac{\cos 2x - (1 - 4\sin^2 x)}{4\cos 2x}$$
6. Usamos $\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$:
$$H = \frac{1 - 2\sin^2 x - 1 + 4\sin^2 x}{4\cos 2x} = \frac{2\sin^2 x}{4\cos 2x} = \frac{\sin^2 x}{2\cos 2x}$$
7. Para llegar a la respuesta del libro: $\frac{1}{4} \tan 2x \tan x$:
$$\frac{1}{4} (\frac{2\tan x}{1-\tan^2 x}) \tan x = \frac{1}{2} \frac{\tan^2 x}{1-\tan^2 x} = \frac{1}{2} \frac{\sin^2 x/\cos^2 x}{\cos^2 x - \sin^2 x / \cos^2 x} = \frac{\sin^2 x}{2\cos 2x}$$

Resultado final:
$$H = \frac{1}{4} \tan 2x \tan x$$