1. Construcción de una ecuación cuadrática para $a$

Dada la igualdad $a = \frac{\sqrt{3} + 1}{2}$, despejamos la raíz:
$$ 2a - 1 = \sqrt{3} $$
Elevamos ambos miembros al cuadrado:
$$ (2a - 1)^2 = 3 \Rightarrow 4a^2 - 4a + 1 = 3 $$
$$ 4a^2 - 4a - 2 = 0 \Rightarrow 2a^2 - 2a - 1 = 0 $$
Esta relación $2a^2 = 2a + 1$ es clave para reducir el grado del polinomio.

2. Reducción del grado del polinomio por división

Sea $P(a) = 4a^3 + 2a^2 - 8a + 7$. Dividimos $P(a)$ por $(2a^2 - 2a - 1)$ para hallar el resto:
$$ \begin{array}{r|l} 4a^3 + 2a^2 - 8a + 7 & 2a^2 - 2a - 1 \\ \cline{2-2} -(4a^3 - 4a^2 - 2a) & 2a + 3 \\ \hline 6a^2 - 6a + 7 & \\ -(6a^2 - 6a - 3) & \\ \hline 10 & \end{array} $$

3. Interpretación del resultado

El algoritmo de la división establece que:
$$ P(a) = (2a^2 - 2a - 1)(2a + 3) + 10 $$
Como hemos demostrado que $2a^2 - 2a - 1 = 0$ para el valor dado de $a$, el término que multiplica al cociente se anula:
$$ P(a) = (0)(2a + 3) + 10 = 10 $$

$$ \boxed{10} $$