1. Datos del problema:

• Condición: $a \operatorname{sen} x + b \cos x = \sqrt{a^2 + b^2}$

2. Fórmulas/Propiedades:

• Si $A \operatorname{sen} x + B \cos x = \sqrt{A^2 + B^2} \implies \tan x = \frac{A}{B}$
• Propiedad de la suma de senos y cosenos a una sola función.

3. Desarrollo paso a paso:
Dividimos toda la ecuación por $\sqrt{a^2 + b^2}$:
$$\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \operatorname{sen} x + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \cos x = 1$$

Sea un ángulo auxiliar $\theta$ tal que $\cos \theta = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ y $\operatorname{sen} \theta = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$. La ecuación se convierte en:
$$\cos \theta \operatorname{sen} x + \operatorname{sen} \theta \cos x = 1$$
$\operatorname{sen}(x + \theta) = 1$

Para que el seno sea 1 (tomando el primer cuadrante):
$$x + \theta = \frac{\pi}{2} \implies x = \frac{\pi}{2} - \theta$$

Calculamos la tangente de $x$:
$$\tan x = \tan\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cot \theta$$
De nuestra definición inicial, $\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\operatorname{sen} \theta}$:
$$\cot \theta = \frac{a/\sqrt{a^2 + b^2}}{b/\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{a}{b}$$

4. Resultado final:
$$\tan x = \frac{a}{b}$$