1. Datos del problema:

• Expresión racional con secante y tangente.

2. Fórmulas/Propiedades:

• $\sec^2 x - \tan^2 x = 1$


• Binomio al cuadrado: $(a-b)^2 + (a+b)^2 = 2(a^2 + b^2)$


• $1/\cot x = \tan x$

3. Desarrollo paso a paso:

• Resolvemos la suma de fracciones del lado izquierdo (L):

$$L = \frac{(\sec x - \tan x)^2 + (\sec x + \tan x)^2}{(\sec x + \tan x)(\sec x - \tan x)}$$

• El denominador es una diferencia de cuadrados: $\sec^2 x - \tan^2 x = 1$.


• El numerador se simplifica usando la identidad de Legendre:

$$L = 2(\sec^2 x + \tan^2 x)$$

• Usamos $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x$:

$$L = 2(1 + \tan^2 x + \tan^2 x) = 2(1 + 2\tan^2 x) = 2 + 4\tan^2 x$$

• Igualamos al lado derecho:

$$2 + 4\tan^2 x = m + m^m \tan^m x$$

• Por comparación directa: $m = 2$.


• Verificamos el segundo término: $m^m = 2^2 = 4$ y el exponente de la tangente es $m=2$. Coincide perfectamente.

4. Resultado final:
$$m = 2$$