Datos del problema:

• Miembro izquierdo: Suma de potencias cuartas de seno y coseno.
• Miembro derecho: Función coseno de ángulo cuádruple.
• Incógnita: Valores de $x$ que satisfacen la igualdad.

Fórmulas o propiedades utilizadas:

1. Identidad pitagórica: $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$
2. Identidad de reducción (binomio al cuadrado): $a^4 + b^4 = (a^2 + b^2)^2 - 2a^2b^2$
3. Ángulo doble del seno: $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$
4. Ángulo doble del coseno: $\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2(\theta)$

Desarrollo paso a paso:

1. Transformación del miembro izquierdo:
Para simplificar $\sin^4(x) + \cos^4(x)$, completamos el trinomio cuadrado perfecto:
$$ \sin^4(x) + \cos^4(x) = (\sin^2(x) + \cos^2(x))^2 - 2\sin^2(x)\cos^2(x) $$
Sustituyendo la identidad pitagórica $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$:
$$ \sin^4(x) + \cos^4(x) = 1^2 - 2\sin^2(x)\cos^2(x) = 1 - 2\sin^2(x)\cos^2(x) $$

2. Uso del ángulo doble en el término residual:
Sabemos que $2\sin(x)\cos(x) = \sin(2x)$, por lo tanto, elevando al cuadrado:
$$ 4\sin^2(x)\cos^2(x) = \sin^2(2x) \Rightarrow 2\sin^2(x)\cos^2(x) = \frac{1}{2}\sin^2(2x) $$
Sustituyendo esto en nuestra expresión:
$$ \sin^4(x) + \cos^4(x) = 1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x) $$

3. Transformación del miembro derecho:
Utilizamos la identidad del ángulo doble para $\cos(4x)$ en términos de $2x$:
$$ \cos(4x) = \cos(2 \cdot 2x) = 1 - 2\sin^2(2x) $$

4. Igualación y simplificación:
Sustituimos ambas expresiones transformadas en la ecuación original:
$$ 1 - \frac{1}{2}\sin^2(2x) = 1 - 2\sin^2(2x) $$
Restamos 1 en ambos lados:
$$ -\frac{1}{2}\sin^2(2x) = -2\sin^2(2x) $$
Igualamos a cero trasladando los términos:
$$ 2\sin^2(2x) - \frac{1}{2}\sin^2(2x) = 0 $$
$$ \frac{3}{2}\sin^2(2x) = 0 $$

5. Resolución de la ecuación simplificada:
Para que el producto sea cero, el factor trigonométrico debe serlo:
$$ \sin^2(2x) = 0 \Rightarrow \sin(2x) = 0 $$
El seno es cero en múltiplos enteros de $\pi$:
$$ 2x = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} $$
Despejando $x$:
$$ x = \frac{n\pi}{2} $$

Resultado final:
La solución general de la ecuación para cualquier número entero $n$ es:
$$ \boxed{x = \frac{n\pi}{2}} $$
Donde los valores específicos en el primer cuadrante y ejes serían $0, \frac{\pi}{2}, \pi, \dots$