Iii
MATU • Trigonometria
MATU_TRI_019
Transcripción de imagen
Enunciado
Paso 1:
Demostrar que: $1 - \sin^2(\alpha + \beta) - \sin^2(\alpha - \beta) = \cos(2\alpha)\cos(2\beta)$
Demostrar que: $1 - \sin^2(\alpha + \beta) - \sin^2(\alpha - \beta) = \cos(2\alpha)\cos(2\beta)$
Solución Paso a Paso
Es conveniente trabajar el lado izquierdo (LHS) de la identidad.
Aplicamos la identidad pitagórica $1 - \sin^2(x) = \cos^2(x)$ al primer término:
$$ 1 - \sin^2(\alpha + \beta) - \sin^2(\alpha - \beta) = \cos^2(\alpha + \beta) - \sin^2(\alpha - \beta) $$
Factorizamos la expresión resultante como una diferencia de cuadrados, $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$, donde $A = \cos(\alpha + \beta)$ y $B = \sin(\alpha - \beta)$:
$$ = [\cos(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)][\cos(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta)] $$
Desarrollamos los cosenos y senos de suma y diferencia de ángulos:
$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$
$\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$
Sustituimos estas expansiones en los dos factores:
Primer factor:
$$ [\cos(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)] = (\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta + \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta) $$
Segundo factor:
$$ [\cos(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta)] = (\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta - (\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta)) $$
$$ = (\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta - \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta) $$
Ahora, factorizamos por agrupación dentro de cada factor.
Para el primer factor:
$$ (\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\cos\beta) + (-\sin\alpha\sin\beta - \cos\alpha\sin\beta) $$
$$ = \cos\beta(\cos\alpha + \sin\alpha) - \sin\beta(\sin\alpha + \cos\alpha) $$
$$ = (\cos\alpha + \sin\alpha)(\cos\beta - \sin\beta) $$
Para el segundo factor:
$$ (\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\cos\beta) + (-\sin\alpha\sin\beta + \cos\alpha\sin\beta) $$
$$ = \cos\beta(\cos\alpha - \sin\alpha) + \sin\beta(-\sin\alpha + \cos\alpha) $$
$$ = (\cos\alpha - \sin\alpha)(\cos\beta + \sin\beta) $$
Multiplicamos los dos factores simplificados:
$$ \text{LHS} = [(\cos\alpha + \sin\alpha)(\cos\beta - \sin\beta)] \cdot [(\cos\alpha - \sin\alpha)(\cos\beta + \sin\beta)] $$
Reagrupamos los términos por $\alpha$ y $\beta$:
$$ = [(\cos\alpha + \sin\alpha)(\cos\alpha - \sin\alpha)] \cdot [(\cos\beta + \sin\beta)(\cos\beta - \sin\beta)] $$
Aplicamos la identidad de diferencia de cuadrados $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$ a cada par de factores:
$$ = (\cos^2\alpha - \sin^2\alpha) \cdot (\cos^2\beta - \sin^2\beta) $$
Finalmente, usamos la identidad del ángulo doble para el coseno, $\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)$:
$$ = \cos(2\alpha)\cos(2\beta) $$
Tal como quería demostrarse.
Aplicamos la identidad pitagórica $1 - \sin^2(x) = \cos^2(x)$ al primer término:
$$ 1 - \sin^2(\alpha + \beta) - \sin^2(\alpha - \beta) = \cos^2(\alpha + \beta) - \sin^2(\alpha - \beta) $$
Factorizamos la expresión resultante como una diferencia de cuadrados, $A^2 - B^2 = (A+B)(A-B)$, donde $A = \cos(\alpha + \beta)$ y $B = \sin(\alpha - \beta)$:
$$ = [\cos(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)][\cos(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta)] $$
Desarrollamos los cosenos y senos de suma y diferencia de ángulos:
$\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$
$\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$
Sustituimos estas expansiones en los dos factores:
Primer factor:
$$ [\cos(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)] = (\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta + \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta) $$
Segundo factor:
$$ [\cos(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta)] = (\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta - (\sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta)) $$
$$ = (\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta - \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta) $$
Ahora, factorizamos por agrupación dentro de cada factor.
Para el primer factor:
$$ (\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\cos\beta) + (-\sin\alpha\sin\beta - \cos\alpha\sin\beta) $$
$$ = \cos\beta(\cos\alpha + \sin\alpha) - \sin\beta(\sin\alpha + \cos\alpha) $$
$$ = (\cos\alpha + \sin\alpha)(\cos\beta - \sin\beta) $$
Para el segundo factor:
$$ (\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\cos\beta) + (-\sin\alpha\sin\beta + \cos\alpha\sin\beta) $$
$$ = \cos\beta(\cos\alpha - \sin\alpha) + \sin\beta(-\sin\alpha + \cos\alpha) $$
$$ = (\cos\alpha - \sin\alpha)(\cos\beta + \sin\beta) $$
Multiplicamos los dos factores simplificados:
$$ \text{LHS} = [(\cos\alpha + \sin\alpha)(\cos\beta - \sin\beta)] \cdot [(\cos\alpha - \sin\alpha)(\cos\beta + \sin\beta)] $$
Reagrupamos los términos por $\alpha$ y $\beta$:
$$ = [(\cos\alpha + \sin\alpha)(\cos\alpha - \sin\alpha)] \cdot [(\cos\beta + \sin\beta)(\cos\beta - \sin\beta)] $$
Aplicamos la identidad de diferencia de cuadrados $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$ a cada par de factores:
$$ = (\cos^2\alpha - \sin^2\alpha) \cdot (\cos^2\beta - \sin^2\beta) $$
Finalmente, usamos la identidad del ángulo doble para el coseno, $\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)$:
$$ = \cos(2\alpha)\cos(2\beta) $$
Tal como quería demostrarse.