1. Datos del problema:
Se presenta una ecuación con potencias pares de seno y coseno para un mismo argumento $2x$.

2. Fórmulas y propiedades:
Utilizaremos la identidad fundamental $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ y la técnica de completar cuadrados/potencias. Sea $u = 2x$, entonces:
$$ (\sin^4 u + \cos^4 u)^2 = \sin^8 u + \cos^8 u + 2\sin^4 u \cos^4 u $$
También recordamos que:
$$ \sin^4 u + \cos^4 u = 1 - 2\sin^2 u \cos^2 u = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2u $$

3. Desarrollo paso a paso:
Sea $S = \sin^2 u$ y $C = \cos^2 u$. Sabemos que $S+C=1$.
La expresión $\sin^8 u + \cos^8 u$ se puede degradar usando la identidad:
$$ S^4 + C^4 = (S^2+C^2)^2 - 2S^2C^2 = (1 - 2SC)^2 - 2S^2C^2 = 1 - 4SC + 2S^2C^2 $$
Sin embargo, es más sencillo expresar todo en términos de $\sin^2 2u$. Sea $y = \sin^2 2u$.
Sabemos que:
$$ \sin^4 u + \cos^4 u = 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2u $$
$$ \sin^8 u + \cos^8 u = (\sin^4 u + \cos^4 u)^2 - 2\sin^4 u \cos^4 u $$
Sustituyendo:
$$ \sin^8 u + \cos^8 u = \left( 1 - \frac{1}{2}\sin^2 2u \right)^2 - 2 \left( \frac{\sin^2 2u}{4} \right)^2 $$
$$ \sin^8 u + \cos^8 u = 1 - \sin^2 2u + \frac{1}{4}\sin^4 2u - \frac{1}{8}\sin^4 2u $$
$$ \sin^8 u + \cos^8 u = 1 - \sin^2 2u + \frac{1}{8}\sin^4 2u $$

Igualamos a la constante dada:
$$ 1 - \sin^2 2(2x) + \frac{1}{8}\sin^4 2(2x) = \frac{41}{128} $$
Nota: El argumento original es $2x$, por lo que al aplicar la reducción de potencia el nuevo argumento es $4x$. Definamos $\alpha = 4x$:
$$ 1 - \frac{1}{2}\sin^2 \alpha + \dots \text{ (recalculando para } 2x) $$
Siendo directos con $u = 2x$:
$$ \sin^8 u + \cos^8 u = \frac{1}{64}\sin^4 2u - \sin^2 u \cos^2 u \dots $$
Usando la identidad de reducción: $\sin^8 \theta + \cos^8 \theta = \frac{1}{64} ( \cos 8\theta + 28 \cos 4\theta + 35 )$.
Para $\theta = 2x$:
$$ \frac{1}{64} ( \cos 16x + 28 \cos 8x + 35 ) = \frac{41}{128} $$
$$ \cos 16x + 28 \cos 8x + 35 = \frac{41 \cdot 64}{128} = 20.5 $$
Sustituyendo $\cos 16x = 2\cos^2 8x - 1$:
$$ 2\cos^2 8x - 1 + 28 \cos 8x + 35 = 20.5 \implies 2\cos^2 8x + 28 \cos 8x + 13.5 = 0 $$
Multiplicando por 2:
$$ 4\cos^2 8x + 56 \cos 8x + 27 = 0 $$
Factorizando mediante la fórmula cuadrática para $z = \cos 8x$:
$$ z = \frac{-56 \pm \sqrt{56^2 - 4(4)(27)}}{2(4)} = \frac{-56 \pm \sqrt{3136 - 432}}{8} = \frac{-56 \pm 52}{8} $$
Las soluciones son $z_1 = -0.5$ y $z_2 = -13.5$ (esta última se descarta pues $|\cos \theta| \leq 1$).
Entonces:
$$ \cos 8x = -\frac{1}{2} \implies 8x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2k\pi $$
$$ x = \pm \frac{\pi}{12} + \frac{k\pi}{4}, \quad k \in \mathbb{Z} $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{x = \frac{k\pi}{4} \pm \frac{\pi}{12}} $$