Ii
MATU • Trigonometria
MATU_TRI_009
Compendio de Trigonometría
Enunciado
Paso 1:
Halle el valor de: $F = 2\sin(x + y)$, dado el sistema: $$ \begin{cases} \sin x + \cos y = a \\ \sin y + \cos x = b \end{cases} $$
Halle el valor de: $F = 2\sin(x + y)$, dado el sistema: $$ \begin{cases} \sin x + \cos y = a \\ \sin y + \cos x = b \end{cases} $$
Solución Paso a Paso
1. Desarrollo:
Elevamos ambas ecuaciones al cuadrado:
2. Suma de ecuaciones:
$$(\sin^2 x + \cos^2 x) + (\sin^2 y + \cos^2 y) + 2(\sin x \cos y + \sin y \cos x) = a^2 + b^2$$
$$1 + 1 + 2\sin(x + y) = a^2 + b^2$$
3. Despeje:
$$2 + 2\sin(x + y) = a^2 + b^2$$
$$2\sin(x + y) = a^2 + b^2 - 2$$
Resultado: $F = a^2 + b^2 - 2$
Elevamos ambas ecuaciones al cuadrado:
- $\sin^2 x + \cos^2 y + 2\sin x \cos y = a^2$
- $\sin^2 y + \cos^2 x + 2\sin y \cos x = b^2$
2. Suma de ecuaciones:
$$(\sin^2 x + \cos^2 x) + (\sin^2 y + \cos^2 y) + 2(\sin x \cos y + \sin y \cos x) = a^2 + b^2$$
$$1 + 1 + 2\sin(x + y) = a^2 + b^2$$
3. Despeje:
$$2 + 2\sin(x + y) = a^2 + b^2$$
$$2\sin(x + y) = a^2 + b^2 - 2$$
Resultado: $F = a^2 + b^2 - 2$