1. Datos y propiedades:
El sistema involucra tres variables que suman $\pi$. Usaremos la identidad para la suma de tangentes cuando $x + y + z = \pi$:
$$ \tan x + \tan y + \tan z = \tan x \tan y \tan z $$

2. Desarrollo paso a paso:
Sustituimos la tercera ecuación del sistema original en la identidad mencionada:
$$ \tan x \tan y \tan z = 6 $$
Dado que la segunda ecuación establece que $\tan x \tan y = 2$, podemos hallar $\tan z$:
$$ (2) \tan z = 6 \implies \tan z = 3 $$
Ahora, volvemos a la tercera ecuación para encontrar la suma de $\tan x$ y $\tan y$:
$$ \tan x + \tan y + 3 = 6 \implies \tan x + \tan y = 3 $$
Tenemos un nuevo sistema simple para $\tan x$ y $\tan y$:
$$ \begin{cases} \tan x + \tan y = 3 \\ \tan x \tan y = 2 \end{cases} $$
Estos valores son las raíces de una ecuación cuadrática de la forma $t^2 - St + P = 0$:
$$ t^2 - 3t + 2 = 0 \implies (t - 1)(t - 2) = 0 $$
Por lo tanto, las soluciones para las tangentes son:
$$ (\tan x, \tan y) = (1, 2) \quad \text{o} \quad (\tan x, \tan y) = (2, 1) $$

3. Resultado final:
Calculamos los ángulos principales:
Si $\tan x = 1 \implies x = \frac{\pi}{4} + k_1\pi$
Si $\tan y = 2 \implies y = \arctan(2) + k_2\pi$
Si $\tan z = 3 \implies z = \arctan(3) + k_3\pi$
Donde $k_1 + k_2 + k_3 = 0$ para satisfacer $x+y+z=\pi$.

$$ \boxed{x = \arctan(1), y = \arctan(2), z = \arctan(3)} $$
(Nota: Se pueden intercambiar los valores de $x$ e $y$).