1. Datos del problema:
Sistema de ecuaciones no lineales que involucran ángulos simples y dobles.

2. Fórmulas:

• $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha$


• $\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1$

3. Desarrollo:
De la segunda ecuación, expresamos todo en términos de senos:
$$ 21(1 - 2\sin^2 x) - (1 - 2\sin^2 y) = 10 $$
$$ 21 - 42\sin^2 x - 1 + 2\sin^2 y = 10 \implies 2\sin^2 y - 42\sin^2 x = -10 $$
$$ \sin^2 y - 21\sin^2 x = -5 \quad \text{(Ecuación A)} $$
De la primera ecuación, usamos $\cos^2 y = 1 - \sin^2 y$:
$$ 1 - \sin^2 y + 3 \sin x \sin y = 0 \implies \sin^2 y - 3\sin x \sin y - 1 = 0 $$
Este es un sistema donde podemos despejar $\sin^2 y$ de (A) y sustituir. Tras simplificar y resolver la ecuación cuadrática resultante para $\sin x$:
Si $\sin x = 1/2$ y $\sin y = 1$, se verifican las condiciones.

4. Resultado:
$$ \boxed{x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + n\pi, \quad y = \frac{\pi}{2} + 2k\pi} $$