1. Propiedad de la tangente de la suma:
Sabemos que:
$$ \tan(x + y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y} $$
Como $x + y = \frac{\pi}{4}$, entonces $\tan(x + y) = \tan(\frac{\pi}{4}) = 1$.

2. Sustitución de valores conocidos:
Sustituimos $\tan x \tan y = \frac{1}{6}$ en la fórmula:
$$ 1 = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \frac{1}{6}} \implies 1 = \frac{\tan x + \tan y}{\frac{5}{6}} \implies \tan x + \tan y = \frac{5}{6} $$

3. Formación de una ecuación cuadrática:
Tenemos la suma $S = \frac{5}{6}$ y el producto $P = \frac{1}{6}$ de $\tan x$ y $\tan y$. Estos valores son raíces de la ecuación $t^2 - St + P = 0$:
$$ t^2 - \frac{5}{6}t + \frac{1}{6} = 0 \implies 6t^2 - 5t + 1 = 0 $$
Factorizando: $(3t - 1)(2t - 1) = 0$, obtenemos $t_1 = \frac{1}{3}$ y $t_2 = \frac{1}{2}$.

4. Resultados:
Si $\tan x = \frac{1}{3}$, entonces $x = \arctan(\frac{1}{3})$. Si $\tan x = \frac{1}{2}$, entonces $x = \arctan(\frac{1}{2})$.

$$ \boxed{ (x, y) = \left( \arctan\left(\frac{1}{3}\right), \arctan\left(\frac{1}{2}\right) \right) \text{ o viceversa} } $$