1. Datos del problema:
Ecuación con potencias de orden 6 para seno y coseno.

2. Fórmulas y propiedades:

• Identidad: $u^3 + v^3 = (u+v)(u^2 - uv + v^2)$


• Sea $u = \sin^2 x$ y $v = \cos^2 x$, entonces $u+v=1$.


• $\sin^6 x + \cos^6 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)(\sin^4 x - \sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x)$


• $\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x \cos^2 x = 1 - 2\sin^2 x \cos^2 x$.

3. Desarrollo paso a paso:
Simplificamos la expresión:
$$ \sin^6 x + \cos^6 x = 1(1 - 2\sin^2 x \cos^2 x - \sin^2 x \cos^2 x) = 1 - 3\sin^2 x \cos^2 x $$
Usando la identidad del seno doble $\sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{4}\sin^2 2x$:
$$ 1 - \frac{3}{4}\sin^2 2x = a $$
Despejamos $\sin^2 2x$:
$$ \frac{3}{4}\sin^2 2x = 1 - a \implies \sin^2 2x = \frac{4(1-a)}{3} $$
Para que existan soluciones reales: $0 \leq \frac{4(1-a)}{3} \leq 1$, lo que implica $\frac{1}{4} \leq a \leq 1$.

Aplicamos la identidad de degradación $\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos 2\theta}{2}$:
$$ \frac{1 - \cos 4x}{2} = \frac{4-4a}{3} \implies 1 - \cos 4x = \frac{8-8a}{3} $$
$$ \cos 4x = 1 - \frac{8-8a}{3} = \frac{3 - 8 + 8a}{3} = \frac{8a - 5}{3} $$

4. Conclusión:
$$ \boxed{x = \frac{1}{4} \left( 2n\pi \pm \arccos\left(\frac{8a - 5}{3}\right) \right)} $$