1. Análisis del lado izquierdo (Parábola):
Sea $f(x) = 1 - 2x - x^2$. Completamos el cuadrado:
$f(x) = -(x^2 + 2x) + 1 = -(x^2 + 2x + 1 - 1) + 1$
$f(x) = -(x+1)^2 + 1 + 1 = 2 - (x+1)^2$
El valor máximo de $f(x)$ es $2$, cuando $x = -1$.

2. Análisis del lado derecho (Trigonometría):
Sea $g(\theta) = \tan^2 \theta + \cot^2 \theta$.
Por la desigualdad de la media aritmética-geométrica ($MA \geq MG$):
$\frac{\tan^2 \theta + \cot^2 \theta}{2} \geq \sqrt{\tan^2 \theta \cdot \cot^2 \theta}$
Como $\tan \theta \cdot \cot \theta = 1$:
$\tan^2 \theta + \cot^2 \theta \geq 2$
El valor mínimo del lado derecho es $2$.

3. Conclusión por comparación:
La igualdad solo es posible si:
$LHS = 2$ y $RHS = 2$.
Para $LHS = 2 \implies x = -1$.
Para $RHS = 2 \implies \tan^2 (x + y) = 1 \implies \tan(x + y) = \pm 1$.
Sustituimos $x = -1$:
$\tan(-1 + y) = \pm 1$
$-1 + y = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2} \implies y = 1 + \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$

4. Resultado:
$$ \boxed{x = -1, \quad y = 1 + \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}} $$