1. Datos: Una ecuación con valor absoluto de la función coseno.
2. Análisis por casos:
Caso 1: $\cos x \geq 0$ (Cuadrantes I y IV).
$$ \cos x = \cos x - 2 \sin x \implies 0 = -2 \sin x \implies \sin x = 0 $$
Esto ocurre en $x = k\pi$. Para que $\cos x \geq 0$, debe ser $x = 2k\pi$.

Caso 2: $\cos x < 0$ (Cuadrantes II y III).
$$ -\cos x = \cos x - 2 \sin x \implies 2 \sin x = 2 \cos x \implies \tan x = 1 $$
La solución de $\tan x = 1$ es $x = \frac{\pi}{4} + k\pi$.
Verificamos la condición $\cos x < 0$:

• Si $k=0$, $x = \pi/4$ (coseno positivo, no sirve).


• Si $k=1$, $x = 5\pi/4$ (coseno negativo, sirve).

En general, $x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi$.

3. Resultado final:
Las soluciones que satisfacen las condiciones de los casos son:
$$ \boxed{x = 2k\pi \quad \text{o} \quad x = 2k\pi + \frac{5\pi}{4}} $$