1. Datos del problema:
Ecuación con argumentos $x/4$ y $x/2$. Usaremos $\sin \frac{x}{2} = 2 \sin \frac{x}{4} \cos \frac{x}{4}$.

2. Desarrollo paso a paso:
Sustituyendo el seno del ángulo doble:
$$ \frac{7}{4} \cos \frac{x}{4} = \cos^3 \frac{x}{4} + 2 \sin \frac{x}{4} \cos \frac{x}{4} $$
Factorizamos $\cos \frac{x}{4}$:
$$ \cos \frac{x}{4} \left( \frac{7}{4} - \cos^2 \frac{x}{4} - 2 \sin \frac{x}{4} \right) = 0 $$
Si $\cos \frac{x}{4} = 0 \implies \frac{x}{4} = \frac{\pi}{2} + k\pi \implies x = 2\pi + 4k\pi$.
Si la parte del paréntesis es cero, usamos $\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$:
$$ \frac{7}{4} - (1 - \sin^2 \frac{x}{4}) - 2 \sin \frac{x}{4} = 0 \implies \sin^2 \frac{x}{4} - 2 \sin \frac{x}{4} + \frac{3}{4} = 0 $$
Multiplicando por 4: $4\sin^2 \frac{x}{4} - 8\sin \frac{x}{4} + 3 = 0$.
Factorizando: $(2\sin \frac{x}{4} - 1)(2\sin \frac{x}{4} - 3) = 0$.
$\sin \frac{x}{4} = \frac{3}{2}$ (Imposible) o $\sin \frac{x}{4} = \frac{1}{2}$.
Si $\sin \frac{x}{4} = \frac{1}{2} \implies \frac{x}{4} = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \implies x = \frac{2\pi}{3} + 8k\pi$.

3. Resultado final:
$$ \boxed{x = 2\pi(2k+1); \quad x = \frac{2\pi}{3} + 8k\pi; \quad x = \frac{10\pi}{3} + 8k\pi} $$