1. Datos del problema:
Ecuación trigonométrica de segundo grado.

2. Desarrollo paso a paso:
Sustituimos $3$ por $3(\sin^2 x + \cos^2 x)$:
$$ 2 \cos^{2} x - 3 \sin x \cos x + 5 \sin^{2} x = 3\sin^2 x + 3\cos^2 x $$
Agrupamos términos:
$$ 2\sin^2 x - 3\sin x \cos x - \cos^2 x = 0 $$
Dividimos por $\cos^2 x$:
$$ 2\tan^2 x - 3\tan x - 1 = 0 $$
Usamos la fórmula general para $\tan x$:
$$ \tan x = \frac{3 \pm \sqrt{(-3)^2 - 4(2)(-1)}}{2(2)} = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{4} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{4} $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{x = \arctan\left(\frac{3 \pm \sqrt{17}}{4}\right) + k\pi} $$