1. Datos del problema:
Ecuación trigonométrica con $\cos^2 x$ y $\sin x$.

2. Fórmulas y propiedades:
Identidad pitagórica: $\cos^{2} x = 1 - \sin^{2} x$.

3. Desarrollo paso a paso:
Sustituimos la identidad en la ecuación:
$$ 2(1 - \sin^{2} x) + \sin x = 2 $$
$$ 2 - 2 \sin^{2} x + \sin x = 2 $$
Simplificamos los términos constantes:
$$ -2 \sin^{2} x + \sin x = 0 \implies 2 \sin^{2} x - \sin x = 0 $$
Factorizamos:
$$ \sin x (2 \sin x - 1) = 0 $$
Análisis de factores:

• $\sin x = 0 \implies x = k\pi$
• $2 \sin x - 1 = 0 \implies \sin x = \frac{1}{2}$
  $$ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{o} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi $$

4. Resultado final:
$$ \boxed{x = k\pi; \quad x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi; \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}} $$