I
MATU • Algebra
MATU_PROG_079
Propia reformulación
Enunciado
Solución Paso a Paso
1. Planteamiento:
Sea $a, b, c$ tres números que cumplen ambas condiciones.
Por ser PA: $2b = a + c$.
Por ser PG: $b^2 = ac$.
2. Sustitución:
De la primera ecuación $c = 2b - a$. Sustituimos en la segunda:
$$b^2 = a(2b - a) \Rightarrow b^2 = 2ab - a^2$$
$$a^2 - 2ab + b^2 = 0 \Rightarrow (a - b)^2 = 0$$
3. Conclusión:
Para que la igualdad se cumpla, es necesario que $a = b$. Si $a = b$, entonces en la PA la diferencia es $0$, lo que implica $b = c$. Por lo tanto, $a = b = c$.
Sea $a, b, c$ tres números que cumplen ambas condiciones.
Por ser PA: $2b = a + c$.
Por ser PG: $b^2 = ac$.
2. Sustitución:
De la primera ecuación $c = 2b - a$. Sustituimos en la segunda:
$$b^2 = a(2b - a) \Rightarrow b^2 = 2ab - a^2$$
$$a^2 - 2ab + b^2 = 0 \Rightarrow (a - b)^2 = 0$$
3. Conclusión:
Para que la igualdad se cumpla, es necesario que $a = b$. Si $a = b$, entonces en la PA la diferencia es $0$, lo que implica $b = c$. Por lo tanto, $a = b = c$.