1. Datos del problema y restricciones
Para resolver la ecuación, primero debemos identificar los valores de $x$ que invalidan la expresión (donde el denominador es cero).
$$ 1 + \cos 2x \neq 0 \implies \cos 2x \neq -1 $$
Esto ocurre cuando $2x \neq (2k+1)\pi$, es decir, $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ para $k \in \mathbb{Z}$. Curiosamente, en estos puntos $\cos x = 0$, por lo que debemos ser cuidadosos al simplificar.

2. Fórmulas y propiedades
Utilizamos la identidad del ángulo doble para el coseno:
$$ \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 $$

3. Desarrollo paso a paso
Sustituimos la identidad en el denominador:
$$ \begin{aligned} \frac{\cos x}{1 + (2\cos^2 x - 1)} &= 0 \\ \frac{\cos x}{2\cos^2 x} &= 0 \end{aligned} $$
Simplificando la fracción (bajo la condición $\cos x \neq 0$):
$$ \frac{1}{2\cos x} = 0 $$
Una fracción de la forma $\frac{1}{f(x)}$ nunca puede ser igual a cero, ya que el numerador es una constante distinta de cero.

4. Conclusión
Dado que el numerador original $\cos x = 0$ anula simultáneamente al denominador, la ecuación no tiene solución en el conjunto de los números reales.

$$ \boxed{\nexists x \in \mathbb{R}} $$