1. Análisis inicial:
El objetivo es demostrar que la diferencia entre el miembro izquierdo y el derecho es siempre no negativa. Definimos la expresión:
$$ E = a^2 + b^2 + c^2 - (ab + ac + bc) $$

2. Artificio algebraico:
Para facilitar la factorización, multiplicamos toda la expresión por $2$ y dividimos por $2$ simultáneamente. Esto no altera el valor de la expresión:
$$ E = \frac{1}{2} \left( 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2ac - 2bc \right) $$

3. Reagrupación en cuadrados perfectos:
Descomponemos los términos $2a^2$, $2b^2$ y $2c^2$ para agruparlos con los términos cruzados:
$$ E = \frac{1}{2} \left[ (a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (c^2 - 2ac + a^2) \right] $$

4. Factorización:
Reconocemos que cada paréntesis es el desarrollo de un binomio al cuadrado:
$$ E = \frac{1}{2} \left[ (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 \right] $$

5. Conclusión lógica:
Dado que el cuadrado de cualquier número real es siempre mayor o igual a cero ($x^2 \ge 0$), la suma de tres cuadrados también será mayor o igual a cero:
$$ (a - b)^2 \ge 0, \quad (b - c)^2 \ge 0, \quad (c - a)^2 \ge 0 $$
Por lo tanto, $\frac{1}{2} [ (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 ] \ge 0$, lo que implica que:
$$ \boxed{a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + ac + bc} $$