Ii
MATU • Trigonometria
MATU_TREC_034
Compendio de Trigonometría
Enunciado
Paso 1:
Demostrar: $\frac{\tan^2 x + \cot^2 x - 2}{\tan x + \cot x - 2} - \frac{\tan^2 x + \cot^2 x + 1}{\tan x + \cot x + 1} = 3$
Demostrar: $\frac{\tan^2 x + \cot^2 x - 2}{\tan x + \cot x - 2} - \frac{\tan^2 x + \cot^2 x + 1}{\tan x + \cot x + 1} = 3$
Solución Paso a Paso
1. Desarrollo paso a paso:
Sea $u = \tan x + \cot x$. Sabemos que:
$$\tan^2 x + \cot^2 x = (\tan x + \cot x)^2 - 2 \tan x \cot x = u^2 - 2$$
Sustituimos $u$ en la expresión original:
$$E = \frac{(u^2 - 2) - 2}{u - 2} - \frac{(u^2 - 2) + 1}{u + 1}$$
$$E = \frac{u^2 - 4}{u - 2} - \frac{u^2 - 1}{u + 1}$$
Factorizamos los numeradores (diferencia de cuadrados):
$$E = \frac{(u-2)(u+2)}{u-2} - \frac{(u-1)(u+1)}{u+1}$$
Simplificando las fracciones:
$$E = (u + 2) - (u - 1)$$
$$E = u + 2 - u + 1 = 3$$
2. Resultado final:
Queda demostrado que el valor de la expresión es 3.
Sea $u = \tan x + \cot x$. Sabemos que:
$$\tan^2 x + \cot^2 x = (\tan x + \cot x)^2 - 2 \tan x \cot x = u^2 - 2$$
Sustituimos $u$ en la expresión original:
$$E = \frac{(u^2 - 2) - 2}{u - 2} - \frac{(u^2 - 2) + 1}{u + 1}$$
$$E = \frac{u^2 - 4}{u - 2} - \frac{u^2 - 1}{u + 1}$$
Factorizamos los numeradores (diferencia de cuadrados):
$$E = \frac{(u-2)(u+2)}{u-2} - \frac{(u-1)(u+1)}{u+1}$$
Simplificando las fracciones:
$$E = (u + 2) - (u - 1)$$
$$E = u + 2 - u + 1 = 3$$
2. Resultado final:
Queda demostrado que el valor de la expresión es 3.