Ii
MATU • Algebra
MATU_PROG_037
Propio
Enunciado
Paso 1:
La suma de tres números positivos en progresión aritmética es 18, y si a estos números se les suma 2, 4, y 11 respectivamente, los nuevos números forman una progresión geométrica. ¿Cuál es el mayor de los números primitivos?
La suma de tres números positivos en progresión aritmética es 18, y si a estos números se les suma 2, 4, y 11 respectivamente, los nuevos números forman una progresión geométrica. ¿Cuál es el mayor de los números primitivos?
Solución Paso a Paso
1. Datos del problema:
2. Desarrollo paso a paso:\\
Paso 1: Hallar el valor de $a$
$$ (a-d) + a + (a+d) = 18 \implies 3a = 18 \implies a = 6 $$
Los números son $6-d, 6, 6+d$.
Paso 2: Aplicar la condición de P.G.
Los nuevos números son: $8-d, 10, 17+d$.
En una P.G. de 3 términos: $g_2^2 = g_1 \cdot g_3$.
$$ 10^2 = (8-d)(17+d) $$
$$ 100 = 136 + 8d - 17d - d^2 \implies d^2 + 9d - 36 = 0 $$
Factorizando: $(d+12)(d-3) = 0$.
$d = 3$ o $d = -12$.
Paso 3: Verificar condición de números positivos
3. Resultado final:
Los números primitivos son $3, 6, 9$. El mayor es 9.
- Números en P.A.: $a-d, a, a+d$.
- Suma de la P.A.: 18.
- Transformación a P.G.: $(a-d+2), (a+4), (a+d+11)$.
2. Desarrollo paso a paso:\\
Paso 1: Hallar el valor de $a$
$$ (a-d) + a + (a+d) = 18 \implies 3a = 18 \implies a = 6 $$
Los números son $6-d, 6, 6+d$.
Paso 2: Aplicar la condición de P.G.
Los nuevos números son: $8-d, 10, 17+d$.
En una P.G. de 3 términos: $g_2^2 = g_1 \cdot g_3$.
$$ 10^2 = (8-d)(17+d) $$
$$ 100 = 136 + 8d - 17d - d^2 \implies d^2 + 9d - 36 = 0 $$
Factorizando: $(d+12)(d-3) = 0$.
$d = 3$ o $d = -12$.
Paso 3: Verificar condición de números positivos
- Si $d=3$: Números son $3, 6, 9$. (Válido)
- Si $d=-12$: Números son $18, 6, -6$. (No válido, pide positivos).
3. Resultado final:
Los números primitivos son $3, 6, 9$. El mayor es 9.