1. Cambio de variable:
Para simplificar el sistema, definiremos nuevas variables para los recíprocos de las incógnitas originales:
Sea:
$$ a = \frac{1}{x}, \quad b = \frac{1}{y}, \quad c = \frac{1}{z} $$

Sustituyendo estas variables en el sistema original obtenemos:
$$ \begin{cases} (1) \quad a + b + c = 3 \\ (2) \quad ab + bc + ca = 3 \\ (3) \quad abc = 1 \end{cases} $$

2. Relación con una ecuación polinómica:
De acuerdo con las fórmulas de Vieta, si $a$, $b$ y $c$ son las raíces de una ecuación cúbica en la variable $t$, dicha ecuación tiene la forma:
$$ t^3 - (a+b+c)t^2 + (ab+bc+ca)t - abc = 0 $$

Sustituyendo los valores de nuestro sistema:
$$ t^3 - 3t^2 + 3t - 1 = 0 $$

3. Factorización de la ecuación:
Reconocemos que la expresión anterior es un producto notable (el cubo de un binomio):
$$ (t - 1)^3 = 0 $$

Para que esta igualdad se cumpla, la única solución para $t$ es:
$$ t - 1 = 0 \implies t = 1 $$
Esto significa que las tres raíces son iguales: $a = 1, b = 1, c = 1$.

4. Cálculo de las variables originales:
Regresamos al cambio de variable inicial:
$$ \begin{array}{l} a = \dfrac{1}{x} \implies 1 = \dfrac{1}{x} \implies x = 1 \\ b = \dfrac{1}{y} \implies 1 = \dfrac{1}{y} \implies y = 1 \\ c = \dfrac{1}{z} \implies 1 = \dfrac{1}{z} \implies z = 1 \end{array} $$

Conclusión:
El sistema tiene una solución única.
$$ \boxed{(x, y, z) = (1, 1, 1)} $$