1. Cambio de variables:
Para simplificar la notación, definamos:
$$ x = \frac{l}{a}, \quad y = \frac{m}{b}, \quad z = \frac{n}{c} $$

2. Transcripción de las condiciones:
De acuerdo al enunciado, tenemos:
$$ \begin{cases} (1) & x + y + z = 1 \\ (2) & \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 0 \end{cases} $$

3. Análisis de la segunda condición:
Desarrollamos la suma de fracciones en $(2)$:
$$ \frac{yz + xz + xy}{xyz} = 0 \implies xy + yz + zx = 0 $$

4. Cálculo de la suma de cuadrados:
Utilizamos la identidad del trinomio al cuadrado:
$$ (x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy + yz + zx) $$
Sustituimos los valores conocidos de las condiciones $(1)$ y $(3)$:
$$ (1)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(0) $$
$$ 1 = x^2 + y^2 + z^2 $$

5. Conclusión:
Sustituyendo de vuelta las variables originales $x, y, z$:
$$ \boxed{\frac{l^2}{a^2} + \frac{m^2}{b^2} + \frac{n^2}{c^2} = 1} $$