1. Datos y fórmulas:
Sea $x+y=5$. Elevamos al cuadrado:
$$ (x+y)^2 = 5^2 \implies x^2 + 2xy + y^2 = 25 \implies x^2 + y^2 = 25 - 2xy $$

2. Elevando a la cuarta potencia:
Para obtener $x^4 + y^4$, elevamos al cuadrado la expresión de $x^2 + y^2$:
$$ (x^2 + y^2)^2 = (25 - 2xy)^2 $$
$$ x^4 + 2x^2y^2 + y^4 = 625 - 100xy + 4x^2y^2 $$
Sustituimos $x^4 + y^4 = 97$:
$$ 97 + 2(xy)^2 = 625 - 100xy + 4(xy)^2 $$

3. Ecuación para $v = xy$:
$$ 2v^2 - 100v + 528 = 0 \implies v^2 - 50v + 264 = 0 $$
Factorizamos buscando números que sumen 50 y multipliquen 264:
$(v - 6)(v - 44) = 0$.

• Si $v = 6$: $x+y=5$ y $xy=6$. Esto da $(2, 3)$ y $(3, 2)$.
• Si $v = 44$: $x+y=5$ y $xy=44$. El discriminante de $t^2 - 5t + 44$ es $25 - 176 < 0$ (sin raíces reales).

4. Conclusión:
$$ \boxed{(x, y) \in \{(2, 3), (3, 2)\}} $$