Datos del problema:
Si los términos $a, b, c, d$ están en P.G., se pueden expresar en función del primer término $a$ y la razón $r$:
$$ \begin{array}{l} a = a \\ b = ar \\ c = ar^2 \\ d = ar^3 \end{array} $$

Desarrollo de la parte izquierda de la igualdad (LHS):
Sustituimos los términos en $(a-c)^2 + (c-b)^2 + (b-d)^2$:
$$ LHS = (a - ar^2)^2 + (ar^2 - ar)^2 + (ar - ar^3)^2 $$

Factorizamos los términos comunes dentro de cada paréntesis:
$$ LHS = [a(1 - r^2)]^2 + [ar(r - 1)]^2 + [ar(1 - r^2)]^2 $$
$$ LHS = a^2(1 - r^2)^2 + a^2r^2(r - 1)^2 + a^2r^2(1 - r^2)^2 $$

Expandimos los binomios:
$$ \begin{array}{l} LHS = a^2(1 - 2r^2 + r^4) + a^2r^2(r^2 - 2r + 1) + a^2r^2(1 - 2r^2 + r^4) \\ LHS = a^2 [ (1 - 2r^2 + r^4) + (r^4 - 2r^3 + r^2) + (r^2 - 2r^4 + r^6) ] \end{array} $$

Agrupamos términos semejantes dentro del corchete:
$$ \begin{array}{l} LHS = a^2 [ 1 + (-2r^2 + r^2 + r^2) + (r^4 + r^4 - 2r^4) - 2r^3 + r^6 ] \\ LHS = a^2 [ 1 - 2r^3 + r^6 ] \end{array} $$

Desarrollo de la parte derecha de la igualdad (RHS):
Calculamos $(d - a)^2$ usando los términos de la progresión:
$$ RHS = (ar^3 - a)^2 $$
Factorizamos $a$ dentro de la potencia:
$$ RHS = [a(r^3 - 1)]^2 = a^2(r^3 - 1)^2 $$
Expandimos el binomio al cuadrado:
$$ RHS = a^2(r^6 - 2r^3 + 1) $$

Conclusión:
Al observar los resultados:
$$ LHS = a^2(1 - 2r^3 + r^6) $$
$$ RHS = a^2(r^6 - 2r^3 + 1) $$
Se verifica que $LHS = RHS$. Por lo tanto, queda demostrado que:
$$ \boxed{(a-c)^2 + (c-b)^2 + (b-d)^2 = (d-a)^2} $$